第七讲：求解$Ax=0$，主变量，特解 ​

举例：$3\times 4$矩阵 $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right]$，求$Ax=0$的特解：

找出主变量（pivot variable）：

主变量（pivot variable，下划线元素）的个数为2，即矩阵$A$的秩（rank）为2，即$r=2$。

主变量所在的列为主列（pivot column），其余列为自由列（free column）。

自由列中的变量为自由变量（free variable），自由变量的个数为$n-r=4-2=2$。

通常，给自由列变量赋值，去求主列变量的值。如，令$x_2=1,x_4=0$求得特解 $x=c_1\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$； 再令$x_2=0,x_4=1$求得特解 $x=c_2\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right]$。

该例还能进一步简化，即将$U$矩阵化简为$R$矩阵（Reduced row echelon form），即简化行阶梯形式。

在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都是$0$：

将$R$矩阵中的主变量放在一起，自由变量放在一起（列交换），得到

计算零空间矩阵$N$（nullspace matrix），其列为特解，有$RN=0$。

在本例中 $N=\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& -2\\ 1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，与上面求得的两个$x$特解一致。

另一个例子，矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 2& 6& 8\\ 2& 8& 10\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{消}\mathrm{元}}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\underrightarrow{\mathrm{化}\mathrm{简}}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]=R$

矩阵的秩仍为$r=2$，有$2$个主变量，$1$个自由变量。

同上一例，取自由变量为$x_3=1$，求得特解 $x=c\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$