第十九讲：行列式公式和代数余子式

上一讲中，我们从三个简单的性质扩展出了一些很好的推论，本讲将继续使用这三条基本性质：

$det I = 1$ ；
交换行行列式变号；
对行列式的每一行都可以单独使用线性运算，其值不变；

我们使用这三条性质推导二阶方阵行列式：

| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & 0 \\ c & d \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & b \\ c & d \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & 0 \\ c & 0 \end{matrix} | + | \begin{matrix} a & 0 \\ 0 & d \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & b \\ c & 0 \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & b \\ 0 & d \end{matrix} | = a d - b c

按照这个方法，我们继续计算三阶方阵的行列式，可以想到，我们保持第二、三行不变，将第一行拆分为个行列式之和，再将每一部分的第二行拆分为三部分，这样就得到九个行列式，再接着拆分这九个行列式的第三行，最终得到二十七个行列式。可以想象到，这些矩阵中有很多值为零的行列式，我们只需要找到不为零的行列式，求和即可。

| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix} | + | \begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0 \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{matrix} |

\begin{matrix}  \end{matrix}

同理，我们想继续推导出阶数更高的式子，按照上面的式子可知 $n$ 阶行列式应该可以分解成 $n!$ 个非零行列式（占据第一行的元素有 $n$ 种选择，占据第二行的元素有 $n - 1$ 种选择，以此类推得 $n!$ ）：

\begin{matrix}  \end{matrix}

这个公式还不完全，接下来需要考虑如何确定符号：

| \begin{matrix} 0 & 0 & \overset{―}{1} & \underset{―}{1} \\ 0 & \overset{―}{1} & \underset{―}{1} & 0 \\ \overset{―}{1} & \underset{―}{1} & 0 & 0 \\ \underset{―}{1} & 0 & 0 & \overset{―}{1} \end{matrix} |

观察带有下划线的元素，它们的排列是 $(4, 3, 2, 1)$ ，变为 $(1, 2, 3, 4)$ 需要两步操作，所以应取 $+$ ；
观察带有上划线的元素，它们的排列是 $(3, 2, 1, 4)$ ，变为 $(1, 2, 3, 4)$ 需要一步操作，所以应取 $-$ 。
观察其他元素，我们无法找出除了上面两种以外的排列方式，于是该行列式值为零，这是一个奇异矩阵。

此处引入代数余子式（cofactor）的概念，它的作用是把 $n$ 阶行列式化简为 $n - 1$ 阶行列式。

于是我们把 $(1)$ 式改写为：

a_{11} (a_{22} a_{33} - a_{23} a_{32}) + a_{12} (a_{21} a_{33} - a_{23} a_{31}) + a_{13} (a_{21} a_{32} - a_{22} a_{31})

| \begin{matrix} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & a_{33} \end{matrix} | + | \begin{matrix} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & 0 \\ a_{31} & a_{32} & 0 \end{matrix} |

于是，我们可以定义 $a_{i j}$ 的代数余子式：将原行列式的第 $i$ 行与第 $j$ 列抹去后得到的 $n - 1$ 阶行列式记为 $C_{i j}$ ， $i + j$ 为偶时时取 $+$ ， $i + j$ 为奇时取 $-$ 。

现在再来完善式子 $(2)$ ：将行列式 $A$ 沿第一行展开：

det A = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + \dots + a_{1 n} C_{1 n}

到现在为止，我们了解了三种求行列式的方法：

消元， $det A$ 就是主元的乘积；
使用 $(2)$ 式展开，求 $n!$ 项之积；
使用代数余子式。

计算例题： $A_{4} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{matrix} | \overset{沿第一行展开}{=} | \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} | - | \begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} | = - 1 - 0 = - 1$

第十九讲：行列式公式和代数余子式 ​

第十九讲：行列式公式和代数余子式