第三十三讲:单元检测3复习
在上一次复习中,我们已经涉及了求特征值与特征向量(通过解方程
接下的章节来我们学习了:
- 解微分方程
,并介绍了指数矩阵 ; - 介绍了对称矩阵的性质
,了解了其特征值均为实数且总是存在足量的特征向量(即使特征值重复特征向量也不会短缺,总是可以对角化);同时对称矩阵的特征向量正交,所以对称矩阵对角化的结果可以表示为 ; - 接着我们学习了正定矩阵;
- 然后学习了相似矩阵,
,矩阵 特征值相同,其实相似矩阵是用不同的基表示相同的东西; - 最后我们学习了奇异值分解
。
现在,我们继续通过例题复习这些知识点。
解方程
。 首先通过
的特征值/向量求通解 ,很明显矩阵是奇异的,所以有 ; 继续观察矩阵会发现
,这是一个反对称矩阵(anti-symmetric)或斜对陈矩阵(skew-symmetric),这与我们在第二十一讲介绍过的旋转矩阵类似,它的特征值应该为纯虚数(特征值在虚轴上),所以我们猜测其特征值应为 。通过解 验证一下: 。 此时
, 始终在复平面单位圆上,所以 及不发散也不收敛,它只是具有周期性。当 时有 ,如果使 即 则也能得到 ,周期 。 另外,反对称矩阵同对称矩阵一样,具有正交的特征向量。当矩阵满足什么条件时,其特征向量相互正交?答案是必须满足
。所以对称矩阵 满足此条件,同时反对称矩阵 也满足此条件,而正交矩阵 同样满足此条件,这三种矩阵的特征向量都是相互正交的。 上面的解法并没有求特征向量,进而通过
得到通解,现在我们就来使用指数矩阵来接方程。如果矩阵可以对角化(在本例中显然可以),则 ,这个公式在能够快速计算 时很方便求解。 已知矩阵的特征值
,特征向量 : *
如何取值才能保证矩阵可以对角化?*其实可对角化只需要有足够的特征向量即可,而现在特征向量已经足够,所以 可以取任意值。 *
如何取值才能保证矩阵对称?*我们知道,对称矩阵的特征值均为实数,且注意到给出的特征向量是正交的,有了实特征值及正交特征向量,我们就可以得到对称矩阵。 *
如何取值才能使得矩阵正定?*已经有一个零特征值了,所以矩阵不可能是正定的,但可以是半正定的,如果 去非负实数。 *
如何取值才能使得矩阵是一个马尔科夫矩阵?*在第二十四讲我们知道马尔科夫矩阵的性质:必有特征值等于 ,其余特征值均小于 ,所以 不可能是马尔科夫矩阵。 *
取何值才能使得 是一个投影矩阵?*我们知道投影矩阵的一个重要性质是 ,所以有对其特征值有 ,则 。 题设中的正交特征向量意义重大,如果没有正交这个条件,则矩阵
不会是对称、正定、投影矩阵。因为特征向量的正交性我们才能直接去看特征值的性质。 复习奇异值分解,
: 先求正交矩阵
: ,所以 是矩阵 的特征向量矩阵,而矩阵 是矩阵 的特征值矩阵,即 的特征值为 。 接下来应该求正交矩阵
: ,但是请注意,我们在这个式子中无法确定特征向量的符号,我们需要使用 ,通过已经求出的 来确定 的符号(因为 ),进而求出 。 已知
从已知的
矩阵可以看出, 矩阵是非奇异矩阵,因为它没有零奇异值。另外,如果把 矩阵中的 改成 ,则题目就不再是奇异值分解了,因为奇异值不可能为负;如果将 变为 ,则 是奇异矩阵,它的秩为 ,零空间为 维, 在其零空间中。 是正交对称矩阵,那么它的特征值具有什么特点? 首先,对于对称矩阵,有特征值均为实数;然后是正交矩阵,直觉告诉我们
。来证明一下,对于 ,我们两边同时取模有 ,而正交矩阵不会改变向量长度,所以有 ,因此 。 *
是正定的吗?*并不一定,因为特征向量可以取 。 *
的特征值没有重复吗?*不是,如果矩阵大于 阶则必定有重复特征值,因为只能取 。 *
可以被对角化吗?*是的,任何对称矩阵、任何正交矩阵都可以被对角化。 *
是非奇异矩阵吗?*是的,正交矩阵都是非奇异矩阵。很明显它的特征值都不为零。 证明
是投影矩阵。 我们使用投影矩阵的性质验证,首先由于
是对称矩阵,则 一定是对称矩阵;接下来需要验证 ,也就是 。来看看 是什么, 是正交矩阵则 ,而 又是对称矩阵则 ,所以 。带入原式有 ,得证。 我们可以使用特征值验证,
的特征值可以取 ,则 的特征值可以取 , 的特征值为 ,特征值满足投影矩阵且它又是对称矩阵,得证。