第二十四讲：马尔科夫矩阵、傅里叶级数 ​

马尔科夫矩阵 ​

马尔科夫矩阵（Markov matrix）是指具有以下两个特性的矩阵：

1. 矩阵中的所有元素大于等于$0$；（因为马尔科夫矩阵与概率有关，而概率是非负的。）
2. 每一列的元素之和为$1$

对于马尔科夫矩阵，我们关心幂运算过程中的稳态（steady state）。与上一讲不同，指数矩阵关系特征值是否为$0$，而幂运算要达到稳态需要特征值为$1$。

根据上面两条性质，我们可以得出两个推论：

1. 马尔科夫矩阵必有特征值为$1$；
2. 其他的特征值的绝对值皆小于$1$。

使用第二十二讲中得到的公式进行幂运算$u_k=A^k{u}_0=S{\mathrm{\Lambda }}^k{S}^{-1}{u}_0=S{\mathrm{\Lambda }}^k{S}^{-1}Sc=S{\mathrm{\Lambda }}^{k}c=c_1{\lambda }_1^k{x}_1+c_2{\lambda }_2^k{x}_2+\cdots +c_n{\lambda }_n^k{x}_n$，从这个公式很容易看出幂运算的稳态。比如我们取${\lambda }_1=1$，其他的特征值绝对值均小于$1$，于是在经过$k$次迭代，随着时间的推移，其他项都趋近于$0$，于是在$k\to \mathrm{\infty }$时，有稳态$u_k=c_1{x}_1$，这也就是初始条件$u_0$的第$1$个分量。

我们来证明第一个推论，取$A=\left[\begin{array}{ccc}0.1& 0.01& 0.3\\ 0.2& 0.99& 0.3\\ 0.7& 0& 0.4\end{array}\right]$，则$A-I=\left[\begin{array}{ccc}-0.9& 0.01& 0.3\\ 0.2& -0.01& 0.3\\ 0.7& 0& -0.6\end{array}\right]$。观察$A-I$易知其列向量中元素之和均为$0$，因为马尔科夫矩阵的性质就是各列向量元素之和为$1$，现在我们从每一列中减去了$1$，所以这是很自然的结果。而如果列向量中元素和为$0$，则矩阵的任意行都可以用“零减去其他行之和”表示出来，即该矩阵的行向量线性相关。

用以前学过的子空间的知识描述，当$n$阶方阵各列向量元素之和皆为$1$时，则有$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right]$在矩阵$A-I$左零空间中，即$(A-I{)}^T$行向量线性相关。而$A$特征值$1$所对应的特征向量将在$A-I$的零空间中，因为$Ax=x\to (A-I)x=0$。

另外，特征值具有这样一个性质：矩阵与其转置的特征值相同。因为我们在行列式一讲了解了性质10，矩阵与其转置的行列式相同，那么如果$det(A-\lambda I)=0$，则有$det(A-\lambda I{)}^T=0$，根据矩阵转置的性质有$det(A^T-\lambda I^T)=0$，即$det(A^T-\lambda I)=0$。这正是$A^T$特征值的计算式。

然后计算特征值${\lambda }_1=1$所对应的特征向量，$(A-I)x_1=0$，得出$x_1=\left[\begin{array}{c}0.6\\ 33\\ 0.7\end{array}\right]$，特征向量中的元素皆为正。

接下来介绍马尔科夫矩阵的应用，我们用麻省和加州这两个州的人口迁移为例：

${\left[\begin{array}{c}{u}_{cal}\\ u_{mass}\end{array}\right]}_{k+1}\left[\begin{array}{cc}0.9& 0.2\\ 0.1& 0.8\end{array}\right]{\left[\begin{array}{c}{u}_{cal}\\ u_{mass}\end{array}\right]}_k$，元素非负，列和为一。这个式子表示每年有$10$的人口从加州迁往麻省，同时有$20$的人口从麻省迁往加州。注意使用马尔科夫矩阵的前提条件是随着时间的推移，矩阵始终不变。

设初始情况${\left[\begin{array}{c}{u}_{cal}\\ u_{mass}\end{array}\right]}_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 1000\end{array}\right]$，我们先来看第一次迁徙后人口的变化情况：${\left[\begin{array}{c}{u}_{cal}\\ u_{mass}\end{array}\right]}_1=\left[\begin{array}{cc}0.9& 0.2\\ 0.1& 0.8\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1000\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}200\\ 800\end{array}\right]$，随着时间的推移，会有越来越多的麻省人迁往加州，而同时又会有部分加州人迁往麻省。

计算特征值：我们知道马尔科夫矩阵的一个特征值为${\lambda }_1=1$，则另一个特征值可以直接从迹算出${\lambda }_2=0.7$。

计算特征向量：带入${\lambda }_1=1$求$A-I$的零空间有$\left[\begin{array}{cc}-0.1& 0.2\\ 0.1& -0.2\end{array}\right]$，则$x_1=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$，此时我们已经可以得出无穷步后稳态下的结果了。$u_{\mathrm{\infty }}=c_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]$且人口总数始终为$1000$，则$c_1=\frac{1000}{3}$，稳态时${\left[\begin{array}{c}{u}_{cal}\\ u_{mass}\end{array}\right]}_{\mathrm{\infty }}=\left[\begin{array}{c}\frac{2000}{3}\\ \frac{1000}{3}\end{array}\right]$。注意到特征值为$1$的特征向量元素皆为正。

为了求每一步的结果，我们必须解出所有特征向量。带入${\lambda }_2=0.7$求$A-0.7I$的零空间有$\left[\begin{array}{cc}0.2& 0.2\\ 0.1& 0.1\end{array}\right]$，则$x_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$。

通过$u_0$解出$c_1,c_2$，$u_k=c_1{1}^k\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+c_2{0.7}^k\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$，带入$k=0$得$u_0=\left[\begin{array}{c}0\\ 1000\end{array}\right]=c_1\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$，解出$c_1=\frac{1000}{3},c_2=\frac{2000}{3}$。

另外，有时人们更喜欢用行向量，此时将要使用行向量乘以矩阵，其行向量各分量之和为$1$。

傅里叶级数 ​

在介绍傅里叶级数（Fourier series）之前，先来回顾一下投影。

设$q_1,q_2,\cdots q_n$为一组标准正交基，则向量$v$在该标准正交基上的展开为$v=x_1{q}_1+x_2{q}_2+\cdots +x_n{q}_n$，此时我们想要得到各系数$x_i$的值。比如求$x_1$的值，我们自然想要消掉除$x_1{q}_1$外的其他项，这时只需要等式两边同乘以$q_1^T$，因为的$q_i$向量相互正交且长度为$1$，则$q_i^T{q}_j=0,q_i^2=1$所以原式变为$q_1^{T}v=x_1$。

写为矩阵形式有$[q_1{q}_2\cdots q_n]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=v$，即$Qx=v$。所以有$x=Q^{-1}v$，而在第十七讲我们了解到标准正交基有$Q^T=Q^{-1}$，所以我们不需要计算逆矩阵可直接得出$x=Q^{T}v$。此时对于$x$的每一个分量有$x_i=q_i^{T}v$。

接下来介绍傅里叶级数。先写出傅里叶级数的展开式：

傅里叶发现，如同将向量$v$展开（投影）到向量空间的一组标准正交基中，在函数空间中，我们也可以做类似的展开。将函数$f(x)$投影在一系列相互正交的函数中。函数空间中的$f(x)$就是向量空间中的$v$；函数空间中的$1,\cos x,\sin x,\cos 2x,\sin 2x,\cdots$就是向量空间中的$q_1,q_2,\cdots ,q_n$；不同的是，函数空间是无限维的而我们以前接触到的向量空间通常是有限维的。

再来介绍何为“函数正交”。对于向量正交我们通常使用两向量内积（点乘）为零判断。我们知道对于向量$v,w$的内积为$v^{T}w=v_1{w}_1+v_2{w}_2+\cdots +v_n{w}_n=0$，也就是向量的每个分量之积再求和。而对于函数$f(x)\cdot g(x)$内积，同样的，我们需要计算两个函数的每个值之积而后求和，由于函数取值是连续的，所以函数内积为：

在本例中，由于傅里叶级数使用正余弦函数，它们的周期都可以算作$2\pi$，所以本例的函数点积可以写作$f^{T}g={\int }_0^{2\pi }f(x)g(x)\mathrm{d}x$。我来检验一个内积${\int }_0^{2\pi }\sin x\cos x\mathrm{d}x={\frac{1}{2}{\sin }^{2}x|}_0^{2\pi }=0$，其余的三角函数族正交性结果可以参考傅里叶级数的“希尔伯特空间的解读”一节。

最后我们来看$\cos x$项的系数是多少（$a_0$是$f(x)$的平均值）。同向量空间中的情形一样，我们在等式两边同时做$\cos x$的内积，原式变为${\int }_0^{2\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x=a_1{\int }_0^{2\pi }{\cos }^{2}x\mathrm{d}x$，因为正交性等式右边仅有$\cos x$项不为零。进一步化简得$a_1\pi ={\int }_0^{2\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x\to a_1=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{2\pi }f(x)\cos x\mathrm{d}x$。

于是，我们把函数$f(x)$展开到了函数空间的一组标准正交基上。