第二十六讲：对称矩阵及正定性 ​

对称矩阵 ​

前面我们学习了矩阵的特征值与特征向量，也了解了一些特殊的矩阵及其特征值、特征向量，特殊矩阵的特殊性应该会反映在其特征值、特征向量中。如马尔科夫矩阵，有一特征值为$1$，本讲介绍（实）对称矩阵。

先提前介绍两个对称矩阵的特性：

1. 特征值为实数；（对比第二十一讲介绍的旋转矩阵，其特征值为纯虚数。）
2. 特征向量相互正交。（当特征值重复时，特征向量也可以从子空间中选出相互正交正交的向量。）

典型的状况是，特征值不重复，特征向量相互正交。

• 那么在通常（可对角化）情况下，一个矩阵可以化为：$A=S\Lambda S^{-1}$；
• 在矩阵对称的情况下，通过性质2可知，由特征向量组成的矩阵$S$中的列向量是相互正交的，此时如果我们把特征向量的长度统一化为$1$，就可以得到一组标准正交的特征向量。则对于对称矩阵有$A=Q\Lambda Q^{-1}$，而对于标准正交矩阵，有$Q=Q^T$，所以对称矩阵可以写为$$A=Q\varLambda Q^T\tag{1}$$

观察$(1)$式，我们发现这个分解本身就代表着对称，${\left(Q\Lambda Q^T\right)}^T={\left(Q^T\right)}^T{\Lambda }^T{Q}^T=Q\Lambda Q^T$。$(1)$式在数学上叫做谱定理（spectral theorem），谱就是指矩阵特征值的集合。（该名称来自光谱，指一些纯事物的集合，就像将特征值分解成为特征值与特征向量。）在力学上称之为主轴定理（principle axis theorem），从几何上看，它意味着如果给定某种材料，在合适的轴上来看，它就变成对角化的，方向就不会重复。

• 现在我们来证明性质1。对于矩阵$\underset{―}{Ax=\lambda x}$，对于其共轭部分总有$\overline{A}\overline{x}=\overline{\lambda }\overline{x}$，根据前提条件我们只讨论实矩阵，则有$A\overline{x}=\overline{\lambda }\overline{x}$，将等式两边取转置有$\overline{{\overline{x}}^{T}A={\overline{x}}^T\overline{\lambda }}$。将“下划线”式两边左乘${\overline{x}}^T$有${\overline{x}}^{T}Ax={\overline{x}}^T\lambda x$，“上划线”式两边右乘$x$有${\overline{x}}^{T}Ax={\overline{x}}^T\overline{\lambda }x$，观察发现这两个式子左边是一样的，所以${\overline{x}}^T\lambda x={\overline{x}}^T\overline{\lambda }x$，则有$\lambda =\overline{\lambda }$（这里有个条件，${\overline{x}}^{T}x\ne 0$），证毕。

  观察这个前提条件，${\overline{x}}^{T}x=\left[\begin{array}{cccc}{\overline{x}}_1& {\overline{x}}_2& \cdots & {\overline{x}}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]={\overline{x}}_1{x}_1+{\overline{x}}_2{x}_2+\cdots +{\overline{x}}_n{x}_n$，设$x_1=a+ib,{\overline{x}}_1=a-ib$则${\overline{x}}_1{x}_1=a^2+b^2$，所以有${\overline{x}}^{T}x>0$。而${\overline{x}}^{T}x$就是$x$长度的平方。

  拓展这个性质，当$A$为复矩阵，根据上面的推导，则矩阵必须满足$A={\overline{A}}^T$时，才有性质1、性质2成立（教授称具有这种特征值为实数、特征向量相互正交的矩阵为“好矩阵”）。

继续研究$A=Q\Lambda Q^T=[q_1{q}_2\cdots q_n]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & \cdots & \\ & {\lambda }_2& \cdots & \\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ & & \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{q}_1^T\\ q_1^T\\ ⋮\\ q_1^T\end{array}\right]={\lambda }_1{q}_1{q}_1^T+{\lambda }_2{q}_2{q}_2^T+\cdots +{\lambda }_n{q}_n{q}_n^T$，注意这个展开式中的$q{q}^T$，$q$是单位列向量所以$q^{T}q=1$，结合我们在第十五讲所学的投影矩阵的知识有$\frac{q{q}^T}{q^{T}q}=q{q}^T$是一个投影矩阵，很容易验证其性质，比如平方它会得到$q{q}^{T}q{q}^T=q{q}^T$于是多次投影不变等。

每一个对称矩阵都可以分解为一系列相互正交的投影矩阵。

在知道对称矩阵的特征值皆为实数后，我们再来讨论这些实数的符号，因为特征值的正负号会影响微分方程的收敛情况（第二十三讲，需要实部为负的特征值保证收敛）。用消元法取得矩阵的主元，观察主元的符号，主元符号的正负数量与特征向量的正负数量相同。

正定性 ​

如果对称矩阵是“好矩阵”，则正定矩阵（positive definite）是其一个更好的子类。正定矩阵指特征值均为正数的矩阵（根据上面的性质有矩阵的主元均为正）。

举个例子，$\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 3\end{array}\right]$，由行列式消元知其主元为$5,\frac{11}{5}$，按一般的方法求特征值有$\left|\begin{array}{cc}5-\lambda & 2\\ 2& 3-lambda\end{array}\right|={\lambda }^2-8\lambda +11=0,\lambda =4\pm \sqrt{5}$。

正定矩阵的另一个性质是，所有子行列式为正。对上面的例子有$\left|\begin{array}{c}5\end{array}\right|=5,\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 3\end{array}\right|=11$。

我们看到正定矩阵将早期学习的的消元主元、中期学习的的行列式、后期学习的特征值结合在了一起。