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举例,同上一讲:3×4矩阵 A=[1222246836810],求Ax=b的特解:
写出其增广矩阵(augmented matrix)[Ab]:
显然,有解的必要条件为b3−b2−b1=0。
讨论b满足什么条件才能让方程Ax=b有解(solvability condition on b):当且仅当b属于A的列空间时。另一种描述:如果A的各行线性组合得到0行,则b端分量做同样的线性组合,结果也为0时,方程才有解。
解法:令所有自由变量取0,则有{x1+2x3=12x3=3 ,解得 {x1=−2x3=32 ,代入Ax=b求得特解 xp=[−20320]。
令Ax=b成立的所有解:
即Ax=b的解集为其特解加上零空间,对本例有: xcomplete=[−20320]+c1[−2100]+c2[20−21]
对于m×n矩阵A,有矩阵A的秩r≤min(m,n)
列满秩r=n情况: A=[13216151] ,rank(A)=2,要使Ax=b,b≠0有非零解,b必须取A中各列的线性组合,此时A的零空间中只有0向量。
行满秩r=m情况: A=[12653111] ,rank(A)=2,都有的解∀b∈Rm都有x≠0的解,因为此时A的列空间为Rm,b∈Rm恒成立,组成A的零空间的自由变量有n-r个。
行列满秩情况:r=m=n,如 A=[1234] ,则A最终可以化简为R=I,其零空间只包含0向量。
总结: