第十一讲：矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 ​

矩阵空间 ​

接上一讲，使用$3\times 3$矩阵举例，其矩阵空间记为$M$。

则$M$的一组基为： $$\begin{gathered} \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \end{gathered}$$

易得，$dimM=9$。

所以可以得出，对上讲中的三阶对称矩阵空间有$dimS=6$、上三角矩阵空间有$dimU=6$、对角矩阵空间有$dimD=3$

求并（intersect）：$S\cup U=D,dim(S\cup U)=9$；

求交（sum）：$S\cap U=M,dim(S\cap U)=3$；

可以看出：$dimS+dimU=12=dim(S\cup U)+dim(S\cap U)$。

另一个例子来自微分方程：

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+y=0$，即$y^{″}+y=0$

方程的解有：$y=\cos x,y=\sin x,y=e^{ix},y=e^{-ix}$等等（$e^{ix}=\cos x+i\sin x,e^{-ix}=\cos x-i\sin x$）

而该方程的所有解：$y=c_1\cos x+c_2\sin x$。

所以，该方程的零空间的一组基为$\cos x,\sin x$，零空间的维数为$2$。同理$e^{ix},e^{-ix}$可以作为另一组基。

秩一矩阵 ​

$2\times 3$矩阵$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 5\\ 2& 8& 10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 4& 5\end{array}\right]$。

且$dimC(A)=1=dimC(A^T)$，所有的秩一矩阵都可以划为$A=U{V}^T$的形式，这里的$U,V$均为列向量。

秩一矩阵类似“积木”，可以搭建任何矩阵，如对于一个$5\times 17$秩为$4$的矩阵，只需要$4$个秩一矩阵就可以组合出来。

令$M$代表所有$5\times 17$，$M$中所有秩$4$矩阵组成的集合并不是一个子空间，通常两个秩四矩阵相加，其结果并不是秩四矩阵。

现在，在${\mathbb{R}}^4$空间中有向量$v=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{array}\right]$，取${\mathbb{R}}^4$中满足$v_1+v_2+v_3+v_4=0$的所有向量组成一个向量空间$S$，则$S$是一个向量子空间。

易看出，不论是使用系数乘以该向量，或是用两个满足条件的向量相加，其结果仍然落在分量和为零的向量空间中。

求$S$的维数：

从另一个角度看，$v_1+v_2+v_3+v_4=0$等价于$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4\end{array}\right]=0$，则$S$就是$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]$的零空间。

$rank(A)=1$，则对其零空间有$rank(N(A))=n-r=3=dimN(A)$，则$S$的维数是$3$。

顺便看一下$1\times 4$矩阵$A$的四个基本子空间：

行空间：$dimC(A^T)=1$，其中的一组基是$\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$；

零空间：$dimN(A)=3$，其中的一组基是$\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

列空间：$dimC(A)=1$，其中一组基是$\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right]$，可以看出列空间就是整个${\mathbb{R}}^1$空间。

左零空间：$dimN(A^T)=0$，因为$A$转置后没有非零的$v$可以使$Av=0$成立，就是$\left[\begin{array}{c}0\end{array}\right]$。

综上，$dimC(A^T)+dimN(A)=4=n,dimC(A)+dimN(A^T)=1=m$

小世界图 ​

图（graph）由节点（node）与边（edge）组成。

假设，每个人是图中的一个节点，如果两个人为朋友关系，则在这两个人的节点间添加一条边，通常来说，从一个节点到另一个节点只需要不超过$6$步（即六条边）即可到达。