第十八讲：行列式及其性质

本讲我们讨论出行列式（determinant）的性质：

$det I = 1$ ，单位矩阵行列式值为一。
交换行行列式变号。
在给出第三个性质之前，先由前两个性质可知，对置换矩阵有 $det P = {\begin{cases} 1 & e v e n \\ - 1 & o d d \end{cases}$ 。
举例： $| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} | = 1, | \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} | = - 1$ ，于是我们猜想，对于二阶方阵，行列式的计算公式为 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ 。
a. $| \begin{matrix} t a & t b \\ c & d \end{matrix} | = t | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |$ 。
b. $| \begin{matrix} a + a^{'} & b + b^{'} \\ c & d \end{matrix} | = | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | + | \begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c & d \end{matrix} |$ 。
注意：~~这里并不是指 $det (A + B) = det A + det B$ ，方阵相加会使每一行相加，这里仅是针对某一行的线性变换。~~
如果两行相等，则行列式为零。使用性质2交换两行易证。
从第 $k$ 行中减去第 $i$ 行的 $l$ 倍，行列式不变。这条性质是针对消元的，我们可以先消元，将方阵变为上三角形式后再计算行列式。
举例： $| \begin{matrix} a & b \\ c - l a & d - l b \end{matrix} | \overset{3. b}{=} | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | + | \begin{matrix} a & b \\ - l a & - l b \end{matrix} | \overset{3. a}{=} | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | - l | \begin{matrix} a & b \\ a & b \end{matrix} | \overset{4}{=} | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |$
如果方阵的某一行为零，则其行列式值为零。使用性质3.a对为零行乘以不为零系数 $l$ ，使 $l det A = det A$ 即可证明；或使用性质5将某行加到为零行，使存在两行相等后使用性质4即可证明。
有上三角行列式 $U = | \begin{matrix} d_{1} & * & \dots & * \\ 0 & d_{2} & \dots & * \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & d_{n} \end{matrix} |$ ，则 $det U = d_{1} d_{2} \dots d_{n}$ 。使用性质5，从最后一行开始，将对角元素上方的 $*$ 元素依次变为零，可以得到型为 $D = | \begin{matrix} d_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & d_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & d_{n} \end{matrix} |$ 的对角行列式，再使用性质3将对角元素提出得到 $d_{n} d_{n - 1} \dots d_{1} | \begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 \end{matrix} |$ ，得证。
当矩阵 $A$ 为奇异矩阵时， $det A = 0$ ；当且仅当 $A$ 可逆时，有 $det A \neq 0$ 。如果矩阵可逆，则化简为上三角形式后各行都含有主元，行列式即为主元乘积；如果矩阵奇异，则化简为上三角形式时会出现全零行，行列式为零。
再回顾二阶情况： $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | \overset{消元}{\to} | \begin{matrix} a & b \\ 0 & d - \frac{c}{a} b \end{matrix} | = a d - b c$ ，前面的猜想得到证实。
$det A B = (det A) (det B)$ 。使用这一性质， $det I = det A^{- 1} A = det A^{- 1} det A$ ，所以 $det A^{- 1} = \frac{1}{det A}$ 。
同时还可以得到： $det A^{2} = (det A)^{2}$ ，以及 $det 2 A = 2^{n} det A$ ，这个式子就像是求体积，对三维物体有每边翻倍则体积变为原来的八倍。
$det A^{T} = det A$ ，前面一直在关注行的属性给行列式带来的变化，有了这条性质，行的属性同样适用于列，比如对性质2就有“交换列行列式变号”。
证明： $| A^{T} | = | A | \to | U^{T} L^{T} | = | L U | \to | U^{T} | | L^{T} | = | L | | U |$ ，值得注意的是， $L, U$ 的行列式并不因为转置而改变，得证。

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第十八讲：行列式及其性质