第九讲：线性相关性、基、维数 ​

$v_1,v_2,\cdots ,v_n$是$m\times n$矩阵$A$的列向量：

如果$A$零空间中有且仅有$0$向量，则各向量线性无关，$rank(A)=n$。

如果存在非零向量$c$使得$Ac=0$，则存在线性相关向量，$rank(A)<n$。

向量空间$S$中的一组基（basis），具有两个性质：

1. 他们线性无关；
2. 他们可以生成$S$。

对于向量空间${\mathbb{R}}^n$，如果$n$个向量组成的矩阵为可逆矩阵，则这$n$个向量为该空间的一组基，而数字$n$就是该空间的维数（dimension）。

举例： $A=\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 1\\ 1& 1& 2& 1\\ 1& 2& 3& 1\end{array}\right]$ ，A的列向量线性相关，其零空间中有非零向量，所以$rank(A)=2=\mathrm{主}\mathrm{元}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{的}\mathrm{列}\mathrm{数}=\mathrm{列}\mathrm{空}\mathrm{间}\mathrm{维}\mathrm{数}$。

可以很容易的求得$Ax=0$的两个解，如 $x_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right],x_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，根据前几讲，我们知道特解的个数就是自由变量的个数，所以$n-rank(A)=2=\mathrm{自}\mathrm{由}\mathrm{变}\mathrm{量}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{的}\mathrm{列}\mathrm{数}=\mathrm{零}\mathrm{空}\mathrm{间}\mathrm{维}\mathrm{数}$

我们得到：列空间维数$dimC(A)=rank(A)$，零空间维数$dimN(A)=n-rank(A)$