第二十八讲：正定矩阵和最小值 ​

本讲我们会了解如何完整的测试一个矩阵是否正定，测试$x^{T}Ax$是否具有最小值，最后了解正定的几何意义——椭圆（ellipse）和正定性有关，双曲线（hyperbola）与正定无关。另外，本讲涉及的矩阵均为实对称矩阵。

正定性的判断 ​

我们仍然从二阶说起，有矩阵$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& d\end{array}\right]$，判断其正定性有以下方法：

1. 矩阵的所有特征值大于零则矩阵正定：${\lambda }_1>0,{\lambda }_2>0$；
2. 矩阵的所有顺序主子阵（leading principal submatrix）的行列式（即顺序主子式，leading principal minor）大于零则矩阵正定：$a>0,ac-b^2>0$；
3. 矩阵消元后主元均大于零：$a>0,\frac{ac-b^2}{a}>0$；
4. $x^{T}Ax>0$；

大多数情况下使用4来定义正定性，而用前三条来验证正定性。

来计算一个例子：$A=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& ?\end{array}\right]$，在$?$处填入多少才能使矩阵正定？

• 来试试$18$，此时矩阵为$A=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 18\end{array}\right]$，$detA=0$，此时的矩阵成为半正定矩阵（positive semi-definite）。矩阵奇异，其中一个特征值必为$0$，从迹得知另一个特征值为$20$。矩阵的主元只有一个，为$2$。

  计算$x^{T}Ax$，得$\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 18\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=2x_1^2+12x_1{x}_2+18x_2^2$这样我们得到了一个关于$x_1,x_2$的函数$f(x_1,x_2)=2x_1^2+12x_1{x}_2+18x_2^2$，这个函数不再是线性的，在本例中这是一个纯二次型（quadratic）函数，它没有线性部分、一次部分或更高次部分（$Ax$是线性的，但引入$x^T$后就成为了二次型）。

  当$?$取$18$时，判定1、2、3都是“刚好不及格”。

• 我们可以先看“一定不及格”的样子，令$?=7$，矩阵为$A=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 7\end{array}\right]$，二阶顺序主子式变为$-22$，显然矩阵不是正定的，此时的函数为$f(x_1,x_2)=2x_1^2+12x_1{x}_2+7x_2^2$，如果取$x_1=1,x_2=-1$则有$f(1,-1)=2-12+7<0$。

  如果我们把$z=2x^2+12xy+7y^2$放在直角坐标系中，图像过原点$z(0,0)=0$，当$y=0$或$x=0$或$x=y$时函数为开口向上的抛物线，所以函数图像在某些方向上是正值；而在某些方向上是负值，比如$x=-y$，所以函数图像是一个马鞍面（saddle），$(0,0,0)$点称为鞍点（saddle point），它在某些方向上是极大值点，而在另一些方向上是极小值点。（实际上函数图像的最佳观测方向是沿着特征向量的方向。）

• 再来看一下“一定及格”的情形，令$?=20$，矩阵为$A=\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 20\end{array}\right]$，行列式为$detA=4$，迹为$trace(A)=22$，特征向量均大于零，矩阵可以通过测试。此时的函数为$f(x_1,x_2)=2x_1^2+12x_1{x}_2+20x_2^2$，函数在除$(0,0)$外处处为正。我们来看看$z=2x^2+12xy+20y^2$的图像，式子的平方项均非负，所以需要两个平方项之和大于中间项即可，该函数的图像为抛物面（paraboloid）。在$(0,0)$点函数的一阶偏导数均为零，二阶偏导数均为正（马鞍面的一阶偏导数也为零，但二阶偏导数并不均为正，所以），函数在改点取极小值。

  在微积分中，一元函数取极小值需要一阶导数为零且二阶导数为正$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0,\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{x}^2}>0$。在线性代数中我们遇到了了多元函数$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，要取极小值需要二阶偏导数矩阵为正定矩阵。

  在本例中（即二阶情形），如果能用平方和的形式来表示函数，则很容易看出函数是否恒为正，$f(x,y)=2x^2+12xy+20y^2=2{(x+3y)}^2+2y^2$。另外，如果是上面的$?=7$的情形，则有$f(x,y)=2(x+3y{)}^2-11y^2$，如果是$?=18$的情形，则有$f(x,y)=2(x+3y{)}^2$。

  如果令$z=1$，相当于使用$z=1$平面截取该函数图像，将得到一个椭圆曲线。另外，如果在$?=7$的马鞍面上截取曲线将得到一对双曲线。

  再来看这个矩阵的消元，$\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 20\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ 0& 2\end{array}\right]$，这就是$A=LU$，可以发现矩阵$L$中的项与配平方中未知数的系数有关，而主元则与两个平方项外的系数有关，这也就是为什么正数主元得到正定矩阵。

  上面又提到二阶导数矩阵，这个矩阵型为$\left[\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right]$，显然，矩阵中的主对角线元素（纯二阶导数）必须为正，并且主对角线元素必须足够大来抵消混合导数的影响。同时还可以看出，因为二阶导数的求导次序并不影响结果，所以矩阵必须是对称的。现在我们就可以计算$n\times n$阶矩阵了。

接下来计算一个三阶矩阵，$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]$，它是正定的吗？函数$x^{T}Ax$是多少？函数在原点去最小值吗？图像是什么样的？

• 先来计算矩阵的顺序主子式，分别为$2,3,4$；再来计算主元，分别为$2,\frac{3}{2},\frac{4}{3}$；计算特征值，${\lambda }_1=2-\sqrt{2},{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=2+\sqrt{2}$。
• 计算$x^{T}Ax=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2-2x_1{x}_2-2x_2{x}_3$。
• 图像是四维的抛物面，当我们在$f(x_1,x_2,x_3)=1$处截取该面，将得到一个椭圆体。一般椭圆体有三条轴，特征值的大小决定了三条轴的长度，而特征向量的方向与三条轴的方向相同。

现在我们将矩阵$A$分解为$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^T$，可以发现上面说到的各种元素都可以表示在这个分解的矩阵中，我们称之为主轴定理（principal axis theorem），即特征向量说明主轴的方向、特征值说明主轴的长度。

$A=Q\mathrm{\Lambda }{Q}^T$是特征值相关章节中最重要的公式。