第十三讲：复习一 ​

1. 令$u,v,w$是${\mathbb{R}}^7$空间内的非零向量：则$u,v,w$生成的向量空间可能是$1,2,3$维的。

2. 有一个$5\times 3$矩阵$U$，该矩阵为阶梯矩阵（echelon form），有$3$个主元：则能够得到该矩阵的秩为$3$，即三列向量线性无关，不存在非零向量使得三列的线性组合为零向量，所以该矩阵的零空间应为$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$。

3. 接上一问，有一个$10\times 3$矩阵$B=\left[\begin{array}{c}U\\ 2U\end{array}\right]$，则化为最简形式（阶梯矩阵）应为$\left[\begin{array}{c}U\\ 0\end{array}\right]$，$rank(B)=3$。

4. 接上一问，有一个矩阵型为$C=\left[\begin{array}{cc}U& U\\ U& 0\end{array}\right]$，则化为最简形式应为$\left[\begin{array}{cc}U& 0\\ 0& U\end{array}\right]$，$rank(C)=6$。矩阵$C$为$10\times 6$矩阵，$dimN(C^T)=m-r=4$。

5. 有$Ax=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 2\end{array}\right]$，并且$x=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+d\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，则等号右侧$b$向量的列数应为$A$的行数，且解的列数应为$A$的列数，所以$A$是一个$3\times 3$矩阵。从解的结构可知自由元有两个，则$rank(A)=1,dimN(A)=2$。从解的第一个向量得出，矩阵$A$的第一列是$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]$；解的第二个向量在零空间中，说明第二列与第一列符号相反，所以矩阵第二列是$\left[\begin{array}{c}-1\\ -2\\ -1\end{array}\right]$；解的第三个向量在零空间中，说明第三列为零向量；综上，$A=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 2& -2& 0\\ 1& -1& 0\end{array}\right]$。

6. 接上一问，如何使得$Ax=b$有解？即使$b$在矩阵$A$的列空间中。易知$A$的列空间型为$c\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]$，所以使$b$为向量$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right]$的倍数即可。

7. 有一方阵的零空间中只有零向量，则其左零空间也只有零向量。

8. 由$5\times 5$矩阵组成的矩阵空间，其中的可逆矩阵能否构成子空间？两个可逆矩阵相加的结果并不一定可逆，况且零矩阵本身并不包含在可逆矩阵中。其中的奇异矩阵（singular matrix，非可逆矩阵）也不能组成子空间，因为其相加的结果并不一定能够保持不可逆。

9. 如果$B^2=0$，并不能得出$B=0$，反例：$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$，这个矩阵经常会被用作反例。

10. $n\times n$矩阵的列向量线性无关，则是否$\mathrm{\forall }b,Ax=b$有解？是的，因为方阵各列线性无关，所以方阵满秩，它是可逆矩阵，肯定有解。

11. 有 $B=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 2\\ 0& 1& 1& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$，在不解出$B$的情况下，求$B$的零空间。可以观察得出前一个矩阵是可逆矩阵，设$B=CD$，则求零空间$Bx=0,CDx=0$，而$C$是可逆矩阵，则等式两侧同时乘以$C^{-1}$有$C^{-1}CDx=Dx=0$，所以当$C$为可逆矩阵时，有$N(CD)=N(D)$，即左乘逆矩阵不会改变零空间。本题转化为求$D$的零空间，$N(B)$的基为 $\left[\begin{array}{c}-F\\ I\end{array}\right]$，也就是$\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

12. 接上题，求$Bx=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$的通解。观察$B=CD$，易得$B$矩阵的第一列为$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，恰好与等式右边一样，所以$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$可以作为通解中的特解部分，再利用上一问中求得的零空间的基，得到通解 $x=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]+c_1\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ 0\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

13. 对于任意方阵，其行空间等于列空间？不成立，可以使用$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$作为反例，其行空间是向量$\left[\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right]$的任意倍数，而列空间是向量$\left[\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right]$的任意倍数。但是如果该方阵是对称矩阵，则成立。

14. $A$与$-A$的四个基本子空间相同。

15. 如果$A,B$的四个基本子空间相同，则$A,B$互为倍数关系。不成立，如任意两个$n$阶可逆矩阵，他们的列空间、行空间均为${\mathbb{R}}^n$，他们的零空间、左零空间都只有零向量，所以他们的四个基本子空间相同，但是并不一定具有倍数关系。

16. 如果交换矩阵的某两行，则其行空间与零空间保持不变，而列空间与左零空间均已改变。

17. 为什么向量$v=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$不能同时出现在矩阵的行空间与零空间中？令$A\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，很明显矩阵$A$中不能出现值为$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$的行向量，否则无法形成等式右侧的零向量。这里引入正交（perpendicular）的概念，矩阵的行空间与零空间正交，它们仅共享零向量。